干支(えと，かんし)は十干(じっかん)と十二支(じゅうにし)の組み合わせから成り立っています．
十干(じっかん)とは，
甲・乙・丙・丁・戊・己・庚・辛・壬・癸
の10種類です．
十二支(じゅうにし)とは，
子・丑・寅・卯・辰・巳・馬・羊・猿・鳥・犬・猪
の12種類です．
この組み合わせは，総当たりで，
10 ｘ 12 = 120種類あるはずです．
ところが，還暦は60年．
ちょうど半分しかありません．
単純に，よく対戦表で見る様に，甲子と子甲は同じだから，半分だと見做して，120/2=60と考えがちですが，この考え方は間違っています．
ウィキペディアの解説によると，
「10と12の最小公倍数は60なので、干支は60回で一周する。干支には、すべての組合せのうちの半数しかない。例えば、一覧01〜60で5回ある「子」のうちに、「甲子」はあるが「乙子」はない。これは、10と12に共通の約数2があるので、干支の周期が積の120ではなく、最小公倍数の60になるからである。 」
とありますが，説明だけから理解しようとすると，一行目から？？？，となってしまいます．後半の部分は誤解を招きやすいし，初めから理解できていなければ，恐らく読むだけではわからないと思います．
いろいろ考えた末(数日かかりました)，私の場合は10歯の歯車と12歯の歯車の組み合わせモデルで考えたら，納得がいきました．
考える過程で，歯数を減らして，例えば3，4歯の歯車(実際は物理的に無理ですが)や3歯，5歯の歯車の組み合わせを考えたら納得できました．
歯をそれぞれ❶，②，③，④とすると，
3歯と3歯の歯車の組み合わせの場合，
❶-❶
②-②
③-③
❶-❶ --- ここで両方の歯が初期状態に戻る
3歯と4歯の歯車の組み合わせの場合，
❶-❶
②-②
③-③
❶-④
②-❶
③-②
❶-③
②-④
③-❶
❶-②
②-③
③-④
❶-❶ --- ここで両方の歯が初期状態に戻る
3歯と5歯の歯車の組み合わせの場合，
❶-❶
②-②
③-③
❶-④
②-⑤
③-❶
❶-②
②-③
③-④
❶-⑤
②-❶
③-②
❶-③
②-④
③-⑤
❶-❶ --- ここで両方の歯が初期状態に戻る
ここまで書き出すと，確かに最小公倍数を求めることと同じであることがわかります．
そして，10歯と12歯だった場合，歯の差は2歯あるので，片側の歯車が一周するたびに2歯づつずれます．3歯と5歯の組み合わせをみればわかりやすいです．
ただし，10，12歯の場合は一周で2歯ずれる(1歯飛ばしとなる)ことで，絶対に組み合わされることのない組み合わせが存在します．両方とも偶数の歯数なので，全部の歯が出会わなくても❶-❶にもどってしまうためです．
ウイキペディアの説明で，「共通の約数2があるので、干支の周期が積の120ではなく、最小公倍数の60になるからである。」の部分がこのことです．
結果的に一周期が60となります．これでやっと還暦が60年だと言うことが理解できるようになりました．
60個全部書き出してよく見れば，納得いくのでしょうけど，なかなか大変です．
参考
干支 えと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B2%E6%94%AF
十二支 じゅうにし
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E4%BA%8C%E6%94%AF
十干 じっかん
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E5%B9%B2
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